Universitą degli Studi di Pavia - Facoltą di Scienze MMFFNN

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Fenomeni di diffusione e trasporto

Corsi di laurea:
Matematica
Docenti:
Salvarani Francesco, Lisini Stefano
Anno accademico:
2012/2013
Crediti formativi:
9
Ambiti:
MAT/07, MAT/02
Decreto Ministeriale:
270/04
Ore di lezione:
72
Lingua di insegnamento:
Italiano

Modalitą

Prova scritta ed orale.

Prerequisiti

Nozioni di base di analisi funzionale.

Programma

Primo modulo

Origine delle equazioni di trasporto e diffusione: il random walk, equazione del calore ed equazione del trasporto libero.
Il formalismo della teoria cinetica. Scaling di trasporto e di diffusione. Passaggio formale dal trasporto alla diffusione.
Fenomeni modellizzati con equazioni di trasporto. Cenni alle equazioni di Vlasov-Poisson ed alle equazioni di Vlasov-Maxwell.
L'equazione lineare del trasporto libero: il problema di Cauchy. Il metodo delle caratteristiche, stime.
Il problema ai limiti per l'equazione lineare del trasporto libero. Bordo entrante, uscente e caratteristico. Tempo di uscita retrogrado, regolarita'. Principio del massimo per l'equazione del trasporto.
Equazione stazionaria del trasporto: teorema di esistenza ed unicita', principio del massimo.
Il problema di Cauchy per l'equazione di Boltzmann lineare. Esistenza ed unicita', stime e positivita' della soluzione.
Il problema ai limiti per l'equazione di Boltzmann lineare: condizioni di riflessione speculare, di riflessione diffusa e di accomodamento. Il lemma di Darrozes-Guiraud. Esistenza ed unicita' della soluzione.
Il limite asintotico in tempo per l'equazione di Boltzmann lineare.
Il limite di diffusione per l'equazione di Boltzmann lineare. Scaling diffusivo e sviluppo di Hilbert.
Metodi alle differenze finite per equazioni di trasporto: schemi di Lax-Friedrichs ed upwind. Il metodo diamante.
Il metodo delle ordinate discrete ed il metodo Monte Carlo per l'equazione di Boltzmann lineare.
Introduzione all'equazione di Boltzmann.

Secondo modulo

1) Equazione del calore

Soluzione fondamentale.
Principio di massimo e confronto.
Esistenza e unicita' per la soluzione del problema di Dirichlet e del problema di Cauchy.

2) Equazione dei mezzi porosi

Modelli: flusso di un gas in un mezzo poroso, trasferimento non lineare di calore.
Esistenza di soluzioni classiche nel caso non degenere.
Principio di massimo e di confronto per soluzioni classiche.
Stime di base e contrattivita' L^1.
Identita' dell'energia.
Soluzioni di autosimilarita'.
Problema di Dirichlet: esistenza e unicitą di soluzioni deboli, soluzioni con energia finita, soluzioni limite L^1, soluzioni forti.
Regolarita' delle soluzioni deboli.
Problema di Cauchy: esistenza con dato iniziale L^1.
Comportamento asintotico per tempi grandi della soluzione del problema di Cauchy.

Bibliografia

L.C. Evans: "Partial Differential Equations", American Mathematical Society, Providence (RI), 1998.
J.L. Vįzquez: "The Porous Medium Equation. Mathematical Theory", Oxford Univ. Press, London, 2006.
R.T. Glassey: "The Cauchy problem in kinetic theory", Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.
C. Villani: "A review of mathematical topics in collisional kinetic theory". Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I,71--305,
North-Holland, Amsterdam, 2002.
Appunti dei docenti.


Moduli

Docente:
Salvarani Francesco
Ore di lezione:
40
Crediti formativi:
5
Ambito:
MAT/07

Programma

Origine delle equazioni di trasporto e diffusione: il random walk, equazione del calore ed equazione del trasporto libero.
Il formalismo della teoria cinetica. Scaling di trasporto e di diffusione. Passaggio formale dal trasporto alla diffusione.
Fenomeni modellizzati con equazioni di trasporto. Cenni alle equazioni di Vlasov-Poisson ed alle equazioni di Vlasov-Maxwell.
L'equazione lineare del trasporto libero: il problema di Cauchy. Il metodo delle caratteristiche, stime.
Il problema ai limiti per l'equazione lineare del trasporto libero. Bordo entrante, uscente e caratteristico. Tempo di uscita retrogrado, regolarita'. Principio del massimo per l'equazione del trasporto.
Equazione stazionaria del trasporto: teorema di esistenza ed unicita', principio del massimo.
Il problema di Cauchy per l'equazione di Boltzmann lineare. Esistenza ed unicita', stime e positivita' della soluzione.
Il problema ai limiti per l'equazione di Boltzmann lineare: condizioni di riflessione speculare, di riflessione diffusa e di accomodamento. Il lemma di Darrozes-Guiraud. Esistenza ed unicita' della soluzione.
Il limite asintotico in tempo per l'equazione di Boltzmann lineare.
Il limite di diffusione per l'equazione di Boltzmann lineare. Scaling diffusivo e sviluppo di Hilbert.
Metodi alle differenze finite per equazioni di trasporto: schemi di Lax-Friedrichs ed upwind. Il metodo diamante.
Il metodo delle ordinate discrete ed il metodo Monte Carlo per l'equazione di Boltzmann lineare.
Introduzione all'equazione di Boltzmann.

Bibliografia

L.C. Evans: "Partial Differential Equations", American Mathematical Society, Providence (RI), 1998.
J.L. Vįzquez: "The Porous Medium Equation. Mathematical Theory", Oxford Univ. Press, London, 2006.
R.T. Glassey: "The Cauchy problem in kinetic theory", Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.
C. Villani: "A review of mathematical topics in collisional kinetic theory". Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I,71--305,
North-Holland, Amsterdam, 2002.
Appunti dei docenti.


Docente:
Lisini Stefano
Ore di lezione:
32
Crediti formativi:
4
Ambito:
MAT/02

Programma

1) Equazione del calore

Soluzione fondamentale.
Principio di massimo e confronto.
Esistenza e unicita' per la soluzione del problema di Dirichlet e del problema di Cauchy.

2) Equazione dei mezzi porosi

Modelli: flusso di un gas in un mezzo poroso, trasferimento non lineare di calore.
Esistenza di soluzioni classiche nel caso non degenere.
Principio di massimo e di confronto per soluzioni classiche.
Stime di base e contrattivita' L^1.
Identita' dell'energia.
Soluzioni di autosimilarita'.
Problema di Dirichlet: esistenza e unicitą di soluzioni deboli, soluzioni con energia finita, soluzioni limite L^1, soluzioni forti.
Regolarita' delle soluzioni deboli.
Problema di Cauchy: esistenza con dato iniziale L^1.
Comportamento asintotico per tempi grandi della soluzione del problema di Cauchy.

Bibliografia

L.C. Evans: "Partial Differential Equations", American Mathematical Society, Providence (RI), 1998.
J.L. Vįzquez: "The Porous Medium Equation. Mathematical Theory", Oxford Univ. Press, London, 2006.
R.T. Glassey: "The Cauchy problem in kinetic theory", Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.
C. Villani: "A review of mathematical topics in collisional kinetic theory". Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I,71--305,
North-Holland, Amsterdam, 2002.
Appunti dei docenti.


Elenco appelli e prove

Nessuna prova presente

Credits: apnetwork.it