UniversitÓ degli Studi di Pavia - FacoltÓ di Scienze MMFFNN

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Introduzione alla topologia algebrica

Corsi di laurea:
Matematica
Docenti:
Pernazza Ludovico
Anno accademico:
2009/2010
Codice corso:
83290
Crediti formativi:
6
Ambiti:
MAT/03
Decreto Ministeriale:
509/99
Ore di lezione:
56
Periodo:
I semestre
Lingua di insegnamento:
Italiano

ModalitÓ

Prova scritta ed esame orale

Programma

Preliminari: spazi prodotto, quoziente, connessione, connessione per archi,
compattezza, assiomi di separabilita`, di numerabilita`, spazi
puntati, gruppi liberi, prodotto libero di gruppi,
prodotto libero abeliano, proprieta` universali, categorie, funtori,
presentazione di alcuni problemi che verranno studiati nel corso,
propriet\`a universale della connessione e della connessione per
archi, oggetti universali, prodotto libero con amalgamazione, gruppi
presentati per generatori e relazioni, ogni gruppo e` immagine
omomorfa di un gruppo libero, ogni gruppo abeliano e` immagine
omomorfa di un gruppo libero abeliano, paracompattezza,
$\sigma$-compattezza, spazi metrici, numero di Lebesgue di un
ricoprimento*, prodotti e coprodotti.


Complementi sul gruppo fondamentale: teoremi di Van Kampen* e loro corollari,
gruppo fondamentale di alcuni spazi. Retratti, omotopia relativa, retratti di
deformazione, equivalenza omotopica, locale connessione per archi,
problemi di estensione e di sollevamento; fibrazioni di Serre e di
Hurewicz, proprieta` di sollevamento, omeomorfismi locali.

Rivestimenti, sollevamento di cammini e omotopie*, unicita` del
sollevamento*, fibrati localmente banali, sezione, un rivestimento e` un
fibrato localmente banale a fibra discreta*; cardinalita` costante
della fibra*, sollevamento unico di mappe da spazi connessi per archi*,
fibrazioni con sollevamento unico se e solo se* la fibra ha solo
cammini costanti, base o spazio totale sconnessi, un fibrato e` una
fibrazione se e` di Hausdorff e paracompatto, proprieta` stabili per
omeomorfismi locali (Hausdorff*); in una fibrazione con sollevamento
unico cammini omotopi relativamente al bordo si sollevano a cammini
omotopi relativamente al bordo*, sollevamenti e cammini chiusi*, p_*
e` iniettiva*, sottogruppo caratteristico, uno spazio che ha un
rivestimento non banale ha gruppo fondamentale non banale*,
criterio di sollevamento delle mappe (e unicita`)*; morfismi di
rivestimento, gruppo degli automorfismi di un rivestimento*, se il
sottogruppo caratteristico e` contenuto in un altro c'e` un morfismo
di rivestimenti*, rivestimenti con lo stesso
sottogruppo caratteristico sono isomorfi*, gerarchia dei rivestimenti:
un morfismo di rivestimenti e` un rivestimento, classi di coniugio
del sottogruppo caratteristico e punti della fibra*, rivestimenti
regolari, regolare se e solo se il sottogruppo caratteristico non
dipende dal punto e se e solo se esiste un punto che ce l'ha normale*,
azione del gruppo fondamentale sulla fibra*, sottogruppo
caratteristico come gruppo di isotropia*, la cardinalita` della fibra
e` l'indice del sottogruppo caratteristico*, un aperto e` ben
rivestito se e solo se ogni laccio si solleva a un laccio*, questi
risultati sui rivestimenti si estendono alle fibrazioni con
sollevamento unico, se la base e` semi-localmente semplicemente
connessa ogni fibrazione con sollevamento unico e` un rivestimento*,
due applicazioni in un rivestimento che
commutano con la proiezione o sono uguali o sempre diverse*, gli automorfismi
sono determinati da un punto della fibra*, esiste un morfismo di rivestimenti
se e solo se il sottogruppo caratteristico di uno e` contenuto in un coniugato
di quello dell'altro per qualche e quindi ogni punto base*, due rivestimenti
sono isomorfi se e solo se i loro
sottogruppi caratteristici sono coniugati*, esiste un isomorfismo di
rivestimenti come spazi puntati se e solo se i sottogruppi caratteristici
coincidono*, un automorfismo di rivestimento manda i punti della fibra in
punti con la stessa isotropia*, il sollevamento di un cammino arriva in un
punto con la stessa isotropia se e solo se appartiene al normalizzatore del
sottogruppo caratteristico*, il gruppo degli automorfismi e` isomorfo al
normalizzatore del sottogruppo caratteristico quozientato per il sottogruppo
caratteristico stesso*, se il sottogruppo caratteristico
di un rivestimento e` banale la fibra, gli automorfismi del rivestimento e il
gruppo fondamentale dello spazio base sono isomorfi*; azioni di gruppo
effettive, libere, propriamente discontinue, la proiezione al quoziente per
un'azione libera e propriamente discontinua di un gruppo
G e` un rivestimento regolare* e ha G come gruppo degli automorfismi* e se lo
spazio era semplicemente connesso G e` il gruppo fondamentale del quoziente*;
esistenza di rivestimenti con sottogruppo caratteristico dato e del
rivestimento universale*. Esempi (rivestimenti di Galois, fasci come
omeomorfismi locali, il gruppo fondamentale di un gruppo topologico e`
abeliano*, ogni gruppo abeliano e` gruppo fondamentale di qualche spazio*,
estensioni di gruppi, successioni esatte, prodotti semidiretti).

Gruppi di omotopia di ordine superiore: spazi di classi di omotopia di mappe,
sospensione, gruppi di omotopia di ordine superiore, sono abeliani*, \pi_0
come insieme puntato, una mappa da S^n e` omotopa ad una costante se e solo
se si puo` estendere ad una mappa dal disco*, gruppi di omotopia di un
prodotto*, di un rivestimento*, di S^1*, spazi di lacci e sospensione,
successione esatta del fibrato*, gruppi di omotopia delle sfere S^n per k<n*,
equivalenza omotopica di una coppia ad un suo quoziente se viene collassato un
"contrattile in (X,A)"*, omotopia relativa e compressione*, successione
esatta della coppia*, della tripla*, \pi_3(S^2)*, \pi_n(S^n)*, invarianza
della dimensione*,
omotopia superiore e (excisione, triade, Van Kampen, wedge di due spazi),
\pi_i(D^n+1, S^n)=0 per i<=n*,
azione del gruppo fondamentale sugli altri,
fibrazione e successione esatta della coppia*,
il bordo e` un invariante topologico*, D^n+1 non si retrae su S^n*, teorema del
punto fisso di Brouwer*, sospensione e teorema di Freudenthal, gruppi di
omotopia e retrazione, deformazione, sezione, omotopia stabile.

Omologia singolare: definizione e gruppo dei coefficienti, funtorialita`*,
invarianza per omotopia*, gruppi del punto*,
omotopia di complessi, omologia di uno spazio contrattile*, H_0 e connessione
per archi*, teorema di Hurewicz per il gruppo fondamentale e l'H_1(X,Z)*,
lemma del serpente e dei 9*,
omologia ridotta, omologia relativa, successione esatta della coppia*, della
tripla*, escissione*, omologia a coefficienti in un gruppo, assiomi di
Eilenberg-Steenrod, naturalita` del morfismo di connessione della coppia*,
successione della coppia ed excisione per l'omologia relativa*, teorie
omologiche straordinarie, lemma delle 4 trecce*,
lemma esagonale, lemma di Barrett-Whitehead, successioni che
splittano, successione di Mayer-Vietoris*, omologia e limiti diretti,
successione di Mayer-Vietoris per l'omologia relativa,
omologia delle sfere*, grado e composizione di mappe*, grado della mappa
antipodale*, non esistono campi di vettori mai nulli sulle sfere pari*,
complessi di sfere, lemma dei 5*, omologia degli incollamenti*,
omologia (e omotopia) dei grafi*,
omologia relativa e quozienti per NDR*,
omologia di S^n-f(I^n)*, di S^n-f(S^r)*, teorema di Jordan-Brouwer (con tesi
sul bordo)*, invarianti dei nodi,
omologia di alcuni spazi, teorema di Schoenflies, sfera cornuta di Alexander,
invarianza del dominio, complessi cellulari e omologia cellulare*, CW-complessi,
l'omologia cellulare e` isomorfa a quella singolare*, complessi simpliciali,
teorema di approssimazione cellulare e simpliciale, omologia
simpliciale, l'omologia simpliciale e` isomorfa a quella singolare,
triangolazione e problemi di esistenza, Hauptvermutung,
caratteristica di Eulero-Poincare', caratteristica del prodotto*, di un
rivestimento*, della somma connessa*, teorema di classificazione delle
superficie* e teorema di Rado', teoremi di Hurewicz e di Whitehead per i
CW-complessi, ogni spazio ha il tipo di omotopia debole di un CW-complesso;
prodotto tensore e sua proprieta` universale, costruzione, commutativita`*,
associativita`, distributivita` rispetto alla somma diretta, prodotto tensore
di mappe, funtore Tor, teorema di Eilenberg-Zilber, formula di Kunneth*,
teorema dei coefficienti universali in omologia*, morfismo di Bockstein.

Coomologia singolare e assiomi, corollari (Mayer Vietoris standard e relativo,
coomologia ridotta, successione della tripla, coomologia degli spazi
contrattili*, di spazi sconnessi, H^0 = G se connesso per archi*, H^0(X,A)=0
se A non vuoto*, coomologia delle sfere*, degli attaccamenti e dei complessi
cellulari, Ext(A,B) = 0 se A libero o B divisibile, Ext(Z/nZ,B)=B/nB, formula
di Kunneth e teorema dei coefficienti universali per la coomologia,
X varieta` di dimensione n: orientazione locale su Z e su Z/2Z,
varieta` orientabili, H_n(X) = \Gamma_c X le sezioni a supporto compatto
del fascio delle orientazioni*, quindi H_n(X)=Z se X orientabile connessa e
compatta, H_n(X)=0 se X non compatta*, classe fondamentale di omologia;
cross product e cup product e algebra di coomologia, slant product e cap
product, bilinearita`, aggiunzione, anticommutativita`, coomologia
a supporto compatto e dualita` di Poincare'*, dualita`
di Alexander, varieta` a bordo e dualita` di Lefschetz, teorema di
Borsuk-Ulam*, teorema del panino in dimensione n*.

Argomenti opzionali: topologia algebrica delle varietÓ differenziabili
(coomologia di De Rham, di Dolbeault e teoria di Hodge, fibrati e K-teoria).

Bibliografia

A. Hatcher: "Algebraic Topology", Cambridge University Press.
W. Massey: "A Basic Course in Algebraic Topology", Springer-Verlag.
M. Greenberg, J. Harper: "Algebraic Topology", Westview.
E. Spanier: "Algebraic Topology", Springer-Verlag.
G. Bredon: "Topology and geometry", Springer-Verlag.
J. Dugundji: "Topology", Allyn and Bacon.

C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica".
W. Massey: "Algebraic Topology, an Introduction".
E. Sernesi: "Geometria 2".
P. Hilton: "Introduction to Homotopy Theory".
S. Hu: "Homotopy Theory".
J. Milnor, Spivak: "Morse Theory".
W. Massey: "Singular Homology Theory".
S. Hu: "Homology Theory".
M. Greenberg: "Lectures on Algebraic Topology".
C. Maunder: "Algebraic Topology".


Elenco appelli e prove

Nessuna prova presente

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